Question

【題目】已知拋物線經過點，與軸交于點．

求這條拋物線的解析式；

如圖1，點P是第三象限內拋物線上的一個動點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；

如圖2，線段的垂直平分線交軸于點，垂足為為拋物線的頂點，在直線上是否存在一點，使的周長最小？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;（2）點的坐標為；（3）

【解析】

（1） 用待定系數法即可得到答案;

（2）連接，設點，由題意得到．即可得到答案.

（3）用待定系數法求解析式，再結合勾股定理即可得到答案.

解：拋物線經過點，

，

解得

拋物線解析式為；

如圖1，連接，設點，其中，四邊形的面積為，由題意得，

，

，

，

．

，開口向下，有最大值，

當時，四邊形的面積最大，

此時，，即．

因此當四邊形的面積最大時，點的坐標為．

，

頂點．

如圖2，連接交直線于點，此時，的周長最小．

設直線的解析式為，且過點，，

直線的解析式為．

在中，．

為的中點，

，

，

，

，

，

，

，

由圖可知

設直線的函數解析式為，

解得：

直線的解析式為．

解得：

．