Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l： 與x軸.y軸交于B，A兩點，點D，C分別為線段AB，OB的中點，連結CD，如圖，將△DCB繞點B按順時針方向旋轉角，如圖．

(1)連結OC，AD，求證∽；

(2)當0°<<180°時，若△DCB旋轉至A，C，D三點共線時，求線段OD的長；

(3)試探索：180°<<360°時，是否還有可能存在A，C，D三點共線的情況，若存在，求出此直線的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（3）存在，

【解析】

（1）先確定出點A，B坐標，進而求出BC，CD，即可判斷出△OBC∽△ABD；
（2）先確定出△ACB≌△BOA，進而判斷出平行四邊形AOBC是矩形，利用勾股定理即可得出結論；
（3）先求出，進而利用勾股定理求出點C的坐標（，），最后用待定系數法即可得出結論．

解：(1)由得A(0，4),B(8，0)，

則OA=4，OB=8，

∵AD=BD,OC=BC

∴BC=4，

∵∠ABO=∠DBC,

∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC.

∴∠OBC=∠ABD，

又.∵

∴△OBC∽△ABD.

(2)當0°<<180°，且A,C,D三點共線時，如圖，

∵∠BCD=90°,

∴∠ACB=90°.

∴∠ACB=∠BOA=90°.

又∵OA=BC=4，AB=BA,

∴△ACB≌△BOA.

∴AC=BO.

∴四邊形AOBC是平行四邊形 又∵∠AOB=90°.

∴平行四邊形AOBC是矩形.

∴∠AOC=90°，AC=OB=8.

∴AD=AC+CD=8+2=10.

∴

(3)存在.

當180°<<360°且A,C,D三點共線時，如圖，

連結OC,同（1）可得：△ABD∽△BOC.

∴

同（2）可得：△ACB≌△BOA.

∴AC=BO=8.

又CD=2，∴AD=6.

∵

∴

∴

過點C作CM⊥y軸于M，設OM=y，MC=x.

在Rt△OMC和Rt△AMC中有：

解得：

∴點C的坐標（，），

設直線AC的表達式為

∴解得：

所以所求直線AC的表達式為