Question

【題目】已知：四邊形 ABCD 內接于⊙O，連接 AC、BD，∠BAD+2∠ACB=180°．

（1）如圖 1，求證：點 A 為弧 BD 的中點；

（2）如圖 2，點 E 為弦 BD 上一點，延長 BA 至點 F，使得 AF=AB，連接 FE 交 AD 于點 P，過點 P 作 PH⊥AF 于點 H，AF=2AH+AP，求證：AH:AB=PE:BE；

（3）在（2）的條件下，如圖 3，連接 AE，并延長 AE 交⊙O 于點 M，連接 CM，并延長 CM 交 AD 的延長線于點 N，連接 FD，∠MND=∠MED，DF=12﹒sin∠ACB，MN=，求 AH 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）根據圓的內接四邊形的性質可得∠BAD+∠BCD=180°，然后結合已知條件即可證出∠ACB=∠ACD，從而證出結論；

（2）在HF上取點G，使HG=HA，連接PG、AE，根據垂直平分線的性質可得AP=GP，結合已知條件可得，GP=GF，結合三線合一證出EA⊥BF，再證出EA∥PH，根據平行線分線段成比例定理和等量代換即可得出結論；

（3）連接MB和MD，先利用等角對等邊證出MN=MD=，然后證出△BDF為直角三角形，∠BDF=90°，即可得出BF=12，然后證出△AFM∽△DFB，列出比例式即可求出DF，再根據勾股定理即可求出BD、BM，設AH=x，再利用相似三角形的判定及性質列出比例式即可求出結論．

解：（1）∵四邊形 ABCD 內接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD=180°

∵∠BAD+2∠ACB=180°

∴∠BCD=2∠ACB

∴∠ACB=∠ACD

∴

即點 A 為弧 BD 的中點；

（2）在HF上取點G，使HG=HA，連接PG、AE

∵PH⊥AF

∴PH垂直平分AG

∴AP=GP

∴∠PAG=∠PGA

∵

∴∠ADB=∠ABD

∴∠PAG=∠ADB＋∠ABD=2∠ABD

∵AF=2AH+AP，AF=AH＋HG＋GF=2AH＋GF

∴AP=GF

∴GP=GF

∴∠GPF=∠F

∴∠PGA=∠GPF＋∠F=2∠F

∴∠ABD=∠F

∴EB=EF

∵AF=AB，

∴EA⊥BF

∴EA∥PH

∴AH：AF = PE：EF

∴AH:AB=PE:BE；

（3）連接MB和MD

∵

∴

∵

∴

∴

∴MN=MD=

∵，AB=AF

∴AB=AD=AF

∴∠ABD=∠ADB，∠ADF=∠AFD

∴∠ABD＋∠AFD=∠ADB＋∠ADF=∠BDF

∴△BDF為直角三角形，∠BDF=90°

∵

∴BF=12

∴AB=AD=AF=6

由（2）知：∠EAB=90°

∴∠MDB=90°

∴∠MDB＋∠BDF=180°

∴M、D、F三點共線

∵∠AFM=∠DFB，∠FAM=∠FDB=90°

∴△AFM∽△DFB

∴

即

解得：DF=或-10（不符合實際，舍去）

根據勾股定理可得BD=

BM=

設AH=x，由（2）知：AP=AF－2AH=6－2x

由圓的內角四邊形的性質可得：∠PAH=∠BMD

∵∠AHP=∠MDB=90°

∴△AHP∽△MDB

∴

即

解得：x=

即