Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．

（1）證明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC與BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由三線合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性質結合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；

（2）首先過點C作CM⊥PD于點M，進而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．

（1）證明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，

∴AC⊥BD，

∴∠ACD+∠BDC=90°，

∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠ADC+∠BDC=90°，

∵PD⊥AD，

∴∠ADC+∠PDC=90°，

∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：過點C作CM⊥PD于點M，

∵∠BDC=∠PDC，

∴CE=CM，

∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，

∴△CPM∽△APD，

∴=，

設CM=CE=x，

∵CE：CP=2：3，

∴PC=x，

∵AB=AD=AC=1，

∴=，

解得：x=，

故AE=1-=．