Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點M在CD邊上，點N在正方形ABCD外部，且滿足∠CMN＝90°，CM＝MN．連接AN，CN，取AN的中點E，連接BE，AC，交于F點．

（1） ①依題意補全圖形；②求證：BE⊥AC．

（2）設AB＝1，若點M沿著線段CD從點C運動到點D，則在該運動過程中，線段EN所掃過的面積為 （直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）

【解析】

（1）①依照題意補全圖形即可；②連接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性質可得出∠ACD=∠MCN=45°，從而得出∠ACN=90°，再根據直角三角形的性質以及點E為AN的中點即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在線段AC的垂直平分線上，由此即可證得BE⊥AC；
（2）找出EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．根據正方形以及等腰直角三角形的性質可得出BD∥CN，由此得出四邊形DFCN為梯形，再由AB=1，可算出線段CF、DF、CN的長度，利用梯形的面積公式即可得出結論．

（1）①依題意補全圖形，如圖1所示．

②證明：連接CE，如圖2所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，點E是AN中點，
∴AE=CE=AN．
∵AE=CE，AB=CB，
∴點B，E在AC的垂直平分線上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．

（2）在點M沿著線段CD從點C運動到點D的過程中，線段EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．

∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四邊形DFCN為梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=BD=，CN=，
∴S梯形DFCN=（DF+CN）CF=（+）×=．
故答案為：.