Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9，BC=12．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交射線AB于點(diǎn)P．當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則AP的長(zhǎng)為_______．

Answer 1

【答案】5或18

【解析】

當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由△AQP∽△ABC即可計(jì)算AP的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示，利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．

∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
∵∠A=∠A，
∴△APQ∽△ACB．

在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，由勾股定理得：AC=15，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示，
∵∠BPQ為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ．

∵△APQ∽△ACB，
∴，即，解得：PB=4，
∴AP=AB﹣PB=9-4=5；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示，
∵∠QBP為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是BP=BQ，

∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AB中點(diǎn)，
∴AP=2AB=2×9=18．
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為5或18．

故答案是：5或18．