Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE=6，CE=2 ，求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：連結OC，如圖，

∵AD為⊙O的切線，

∴AD⊥AB，

∴∠BAD=90°，

∵OD∥BC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵OB=OC，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△OCD和△OAD中，

，

∴△AOD≌△COD（SAS）；

∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，

在Rt△OCE中，∵OC2+CE2=OE2，

∴r2+（2 ）2=（6﹣r）2，解得r=2，

∵tan∠COE= = = ，

∴∠COE=60°，

∴S陰影部分=S△COE﹣S扇形BOC

= ×2×2 ﹣

=2 ﹣ π．

【解析】（1）連結OC，根據切線的性質得∠BAD=90°，再根據平行線的性質，得到∠1=∠2，再由△AOD≌△COD，得到∠OCD=∠OAD=90°，即證得所求結論；
（2）設半徑為r，在Rt△OCE中利用勾股定理得到r=2,再利用正切函數求出∠COE=60°，然后根據扇形面積公式和S陰影部分=S△COE-S扇形BOC進行計算即可得到BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理和扇形面積計算公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．