Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點是軸正半軸上的一動點，拋物線(是常數，且過點，與軸交于兩點，點在點左側，連接，以為邊做等邊三角形，點與點在直線兩側．

（1）求B、C的坐標；

（2）當軸時，求拋物線的函數表達式；

（3）①求動點所成的圖像的函數表達式；

②連接，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）、；（2）；（3）①；②．

【解析】

（1），令，則或4，即可求解；

（2）當軸時，則，則，故點，即可求解；

（3）構造一線三垂直相似模型由，則，解得：，，故點，，即可求解．

解：（1）當時，即，

解得或4，

故點、的坐標分別為：、；

（2）∵等邊三角形，

∴，

∴當軸時，，

∴，故點，

即，解得：，

故拋物線的表達式為：；

（3）①如圖，過點作于點，過點作軸的垂線于點，過點作軸交軸于點交于點，

為等邊三角形，

∴點為的中點， ，

∴點，，

，，

，

，

，其中，，

解得：，，故點，，

即動點所成的圖像的函數滿足 ，

∴動點所成的圖像的函數表達式為：．

②由①得點，，

∴，

故當時，的最小值為，即的最小值為．