Question

先閱讀短文，再回答短文后面的問題．
平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
下面根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程．
如上圖，建立直角坐標系xoy，使x軸經過點F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合．設|KF|=p（p＞0），那么焦點F的坐標為（

p

2

，0），準線l的方程為x=-

p

2

．
設點M（x，y）是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d，由拋物線的定義，拋物線就是滿足|MF|=d的點M的軌跡．
∵|MF|=

(x- p 2 )2+y2

，d=|x+

p

2

|∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
將上式兩邊平方并化簡，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是（

p

2

，0），它的準線方程是x=-

p

2

．
一條拋物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同．所以拋物線的標準方程還有其它的幾種形式：y²=-2px，x²=2py，x²=-2py．這四種拋物線的標準方程，焦點坐標以及準線方程列表如下：

標準方程	交點坐標	準線方程
y2=2px（p＞0）	（ p 2 ，0）	x=- p 2
y2=-2px（p＞0）	（- p 2 ，0）	x= p 2
x2=2py（p＞0）	（0， p 2 ）	y=- p 2
x2=-2py（p＞0）	（0，- p 2 ）	y=- p 2

解答下列問題：
（1）①已知拋物線的標準方程是y²=8x，則它的焦點坐標是

 

，準線方程是

 

②已知拋物線的焦點坐標是F（0，-6），則它的標準方程是

 

．
（2）點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程．
（3）直線y=

3

x+b經過拋物線y²=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據四種拋物線的標準方程，焦點坐標以及準線方程列表直接求出即可；
（2）由點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，得出點M到點F的距離與到直線x=-4的距離相等，進而可以求出；
（3）由直線y=

3

x+b經過拋物線y²=4x的焦點，可求出直線解析式，將y=

3

x-

3

與y²=4x聯立求出A，B兩點的坐標，再利用平面內兩點的距離公式求出AB的長度．

解答：解：（1）①∵拋物線的標準方程是y²=8x，
∴y²=2×4x，它的焦點坐標是（

p

2

，0），即（2，0），
準線方程是：x=-

p

2

=-2；
②∵拋物線的焦點坐標是F（0，-6），
∴-

p

2

=-6，p=12，
∴x ²=-2py，
∴x²=-24y；

（2）∵M（x，y）到點F（4，0）的距離比M到直線x=-5的距離小1，
∴點M到點F的距離與到直線x=-4的距離相等，
所以點M的軌跡是以x=-4為準線，以F（4，0）為焦點的拋物線．
顯然其頂點是O（0，0），焦參數（焦點到直線的距離）p=4-（-4）=8，
所以點M的軌跡方程是拋物線方程：y²=16x；

（3）∵拋物線y²=4x的焦點是（1，0），
∴直線y=

3

x+b的解析式為：y=

3

x-

3

，
將y=

3

x-

3

與y²=4x聯立求出x ₁=3'x ₂=

1

3

，y ₁=2

3

，y ₂=-

2 3

3

，
∴兩函數的交點A，B，為（3，2

3

），（

1

3

，-

2 3

3

），
∴線段AB的長為：AB=

(3- 1 3 ) 2+(2 3 + 2 3 3 ) 2

=

16

3

．

點評：此題主要考查了四種拋物線的標準方程，焦點坐標以及準線方程的應用，以及平面內兩點之間距離求法等知識，題目綜合性較強．