Question

已知，如圖，直角坐標系內的矩形ABCD，頂點A的坐標為（0，3），BC=2AB，P為
AD邊上一動點（與點A、D不重合），以點P為圓心作⊙P與對角線AC相切于點F，過P、F作直線L，交BC邊于點E，當點P運動到點P₁位置時，直線L恰好經過點B，此時直線的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP₁的長；
（Ⅱ）設AP=m，梯形PECD的面積為S，求S與m之間的函數關系式，寫出自變量m的取值范圍；
（Ⅲ）以點E為圓心作⊙E與x軸相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪幾種位置關系，并求出AP相應的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據題意可求出點B的坐標，從而得出BC的長，再證明Rt△BP₁A∽Rt△CAB．即可求出AP₁的長；
（II）過P作BC的垂線，則可證明四邊形P₁PEB為平行四邊形，∴Rt△BAP₁≌Rt△PGE，則s=-2m+9.1≤m＜4．
（III）由△EFC∽△ABC，則EC，PE，PF，再由△EFC∽△PFA，得出AP，再根據當AP=5-

5

時，外切；當AP＞5-

5

時，相交；當AP＜5-

5

時，外離三種情況得出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵點在直線y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁為圓心，F₁為P₁與直線AC的切點，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽Rt△CAB．
∴

AB

BC

=

AP1

AB

，AP1=

AB2

BC

=

22

4

=1；

（Ⅱ）PD=4-m，過P作BC的垂線，垂足為G，
∵PF∥P₁F₁，P₁P∥BE，
∴四邊形P₁PEB為平行四邊形，
∴P₁B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP₁≌Rt△PGE，AP₁=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；

（Ⅲ）當EF=1時，
∵△EFC∽△ABC，
∴

EF

EC

=

AB

AC

=

5

5

，EC=

5

，
∵PE=BP1=

AB2+AP12

=

5

，
∴PF=PE-EF=

5

-1
又△EFC∽△PFA，
∴

EC

EF

=

AP

PF

，AP=

EC×PF

EF

=5-

5

，
當AP=5-

5

時，外切；
當AP＞5-

5

時，相交；
當AP＜5-

5

時，外離．

點評：本題是一個綜合性的題目，考查的知識點有：相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系以及一次函數問題，綜合性較強．