Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與直線：交于點，且．

（1）若是第二象限位于直線上方的一點，過作于，過作軸交直線于，為中點，其中的周長是，若為線段上一動點，連接，求的最小值，此時軸上有一個動點，當最大時，求點坐標；

（2）在（1）的情況下，將繞點順時針旋轉后得到，如圖2，將線段沿著軸平移，記平移過程中的線段為，在平面直角坐標系中是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，或或

【解析】

（1）點，則點，過點C作x軸的垂線、過點M作y軸的垂線，兩垂線交于點H， MH=MC=MC， 當點E、M、H三點共線時，EM+MH=EM+MC最小， 點M，連接BM交于y軸于點G，此時最大，即可求解；

（2）設線段沿著x軸平移了m個單位，則點、的坐標分別為、，而點E，

①當是菱形的邊時，則EP()==OA=，即可求解；

②當是菱形的對角線時，

設點P(a，b)， 由中點公式得：，，而EO=EA，即：+=，即可求解.

（1）由AC: 得：點A、C的坐標分別為：、，

∴AO=，CO=，，

則，則，

點B，點A，代入y=ax+b，

得：，解得：，

則直線AB的表達式為：，

∴BO=9，AO=

∴，則，，

∵FEAB，FD∥y軸，則，

設：DE=s，則DF=2s，EF=s， 的周長是12+，解得：s=4，

D為AB的中點，則點 ，

s=ED=4，則，

則點，

過點C作x軸的垂線、過點M作y軸的垂線，兩垂線交于點H，如圖1：

則，則MH=MC=MC，

當點E、M、H三點共線時，EM+MH=EM+MC最小，

則，

作點M在直線AC上，則點M，

作點M關于y軸的對稱點，連接BM交于y軸于點G，如圖2：

則點G為所求，此時最大，

將B、的坐標代入一次函數表達式：，

解得：

故點G的坐標為；

綜上，EM+MC最小值為：， G的坐標為：；

（2）將繞O點順時針旋轉后得到，

則為邊長為4的等邊三角形，則點，

設線段沿著x軸平移了m個單位，

則點、的坐標分別為、，而點E，

①當是菱形的邊時，

直線和直線AB的傾斜角都是，故∥∥AB，

則EP()==OA=，

則，

故點P，

同理點;

②當是菱形的對角線時，

設點P(a，b)，

由中點公式得：，，

而EO=EA，即：+=，

解得，b=-2，，

故：，b=-2，

則點P；

綜上，點P坐標為：或或.