Question

【題目】二次函數y＝ax2+2x﹣2，若對滿足3＜x＜4的任意實數x都有y＞0成立，則實數a的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】a>-

【解析】

方法1：由題意可得ax2+2x-2＞0，即為a＞對3＜x＜4成立，求得右邊函數的取值范圍，即可得到所求a的范圍．

方法二：分情況討論：①時，拋物線開口向上，時符合題意，時，由于拋物線對稱軸在y軸左側，可知x=3時y＞0，則符合題意；②時，拋物線開口向下，則同時滿足x=3，x=4時，y＞0，則符合題意．

方法一：解：若對滿足3＜x＜4的任意實數x都有y＞0成立，

即有ax2+2x﹣2＞0，即為a＞，且 3＜x＜4，

由y=在3＜x＜4內y隨x的增大而增大，

因為當x＝3，可得y=＝﹣，當x＝4，可得y=＝﹣，

所以﹣＜＜﹣，

所以a>-

有∵a≠0，

故答案為：a>-且a≠0．

方法二：解：①當時，拋物線開口向上，

若，則對于任意實數x都有y＞0，

即，解得，

與矛盾，此種情況不存在；

若，即，解得

∵拋物線對稱軸

∴拋物線在3＜x＜4時y隨x的增大而增大

當x=3時，y＞0，則滿足3＜x＜4的任意實數x都有y＞0成立

即9a+6-2＞0，解得

∴時，滿足3＜x＜4的任意實數x都有y＞0成立

②當時，拋物線開口向下

同時滿足x=3，x=4時，y＞0，則滿足3＜x＜4的任意實數x都有y＞0成立

即

解得

∴

故答案為：或