Question

某工廠現(xiàn)有甲種原料400千克，乙種原料450千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共60件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料5千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元．
（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你給設(shè)計出來；
（2）按（1）中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)A種產(chǎn)品生產(chǎn)了x件，則B種產(chǎn)品生產(chǎn)件了（60-x）件，根據(jù)生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料5千克；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，得到不等式組

9x+4(60-x)≤400 5x+10(60-x)≤450

，解不等式組得到30≤x≤32，則x=30，31，32，易得三種設(shè)計方案；
（2）設(shè)A種產(chǎn)品生產(chǎn)了x件，獲得的總的利潤為y元，由于生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品可獲利潤1200元，則有y=700x+（60-x）•1200=-500x+72000，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x最小時，y最大，于是把x=30代入計算即可得到最大利潤．

解答：解：（1）設(shè)A種產(chǎn)品生產(chǎn)了x件，則B種產(chǎn)品生產(chǎn)件了（60-x）件，
由題意可得：

9x+4(60-x)≤400 5x+10(60-x)≤450

，
解這個不等式組得：30≤x≤32，
∵x是整數(shù)，
∴x=30，31，32，
∴有三種設(shè)計方案：
方案（1）A種產(chǎn)品生產(chǎn)30件，B種產(chǎn)品生產(chǎn)件30件；
方案（2）A種產(chǎn)品生產(chǎn)31件，B種產(chǎn)品生產(chǎn)件29件；
方案（3）A種產(chǎn)品生產(chǎn)32件，B種產(chǎn)品生產(chǎn)件28件；

（2）設(shè)A種產(chǎn)品生產(chǎn)了x件，獲得的總的利潤為y元，
根據(jù)題意，得y=700x+（60-x）•1200=-500x+72000，
∵y隨x的增大而減少，
∴當(dāng)x=30時，y_最大值=57000，
答：當(dāng)A種產(chǎn)品生產(chǎn)30件，B種產(chǎn)品生產(chǎn)30件時，所獲的利潤最大，最大利潤是57000元．

點評：本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用：先根據(jù)實際問題列出一次函數(shù)關(guān)系式以及自變量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)在取值范圍內(nèi)確定函數(shù)的最大或最小值．也考查了一元一次不等式組的應(yīng)用．