Question

【題目】已知拋物線與軸交于和兩點，與軸正半軸交于點，若的面積，

（1）求拋物線的對稱軸及解析式．

（2）若為對稱軸上一點，且，以、為頂點作正方形（、、、順時針排列），若正方形有兩個頂點在拋物線上，求的值．

（3）如圖，、兩點關于對稱軸對稱，一次函數過點，且與拋物線只有唯一一個公共點，平移直線交拋物線于、兩點（點在點上方），請你猜想與的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸是直線，；（2）或；（3）或，證明見解析

【解析】

（1）根據對稱軸公式可求得對稱軸，由面積以及點的坐標可求得拋物線解析式；

（2）分情況討論，設P（1，n），根據旋轉的性質可以得到D，E點坐標，代入解析式即可求得n值；

（3）分情況討論，求出關于D點的切線方程，平移切線與拋物線聯立，可得關于交點的坐標關系式，利用直角三角形性質即可求得角度之間關系．

（1）解：對稱軸為直線，

∵，，

∴，即，，

由面積，得，

∴，

、代入可得；，

即拋物線解析式為；；

（2）解：由題意知，

①如左圖， 過P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，

設D點坐標為（a，b）,由旋轉90°可得△CMP≌△DNP，

∴CM=DN，PM=PN，

∴，，

∴，，

∴，

將D點代入，

∴，解得或4（舍），

②如圖，

同理可求得，

代入拋物線解析式，，

解得（舍去）或，

∴或；

（3）①若點在左側，，理由如下

易知D（2,3），過點的拋物線的切線為，

設平移后的解析式為，

與拋物線聯立得：，

，，

∴；

②若點在右側，，理由如下

同理可得，

所以，

綜上所述，或．