【題目】已知拋物線
與
軸交于
和
兩點,與
軸正半軸交于
點,若
的面積
,
(1)求拋物線的對稱軸及解析式.
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(2)若
為對稱軸上一點,且
,以
、
為頂點作正方形
(
、
、
、
順時針排列),若正方形
有兩個頂點在拋物線上,求
的值.
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(3)如圖,
、
兩點關于對稱軸對稱,一次函數
過
點,且與拋物線只有唯一一個公共點,平移直線
交拋物線于
、
兩點(
點在
點上方),請你猜想
與
的數量關系并加以證明.
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【答案】(1)對稱軸是直線
,
;(2)
或
;(3)
或
,證明見解析
【解析】
(1)根據對稱軸公式可求得對稱軸,由面積以及點的坐標可求得拋物線解析式;
(2)分情況討論,設P(1,n),根據旋轉的性質可以得到D,E點坐標,代入解析式即可求得n值;
(3)分情況討論,求出關于D點的切線方程,平移切線與拋物線聯立,可得關于交點的坐標關系式,利用直角三角形性質即可求得角度之間關系.
(1)解:對稱軸為直線
,
∵
,
,
∴
,即
,
,
由面積
,得
,
∴
,
、
代入可得;
,
即拋物線解析式為;
;
(2)解:由題意知
,
①如左圖, 過P作PM⊥y軸,PN⊥x軸,
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設D點坐標為(a,b),由旋轉90°可得△CMP≌△DNP,
∴CM=DN,PM=PN,
∴
,
,
∴
,
,
∴
,
將D點代入
,
∴
,解得
或4(舍),
②如圖,
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同理可求得
,
代入拋物線解析式,
,
解得
(舍去)或
,
∴
或
;
(3)①若
點在
左側,
,理由如下
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易知D(2,3),過
點的拋物線的切線為
,
設平移后
的解析式為
,
與拋物線聯立得:
,
,
,
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∴
;
②若
點在
右側,
,理由如下
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同理可得
,
所以
,
綜上所述,
或
.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,DE⊥AD,交AB于點E,AE為⊙O的直徑.
(1)判斷BC與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)求證:△ABD∽△DBE;
(3)若cosB=
,AE=4,求CD.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點D,連接AD,過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為5,cos∠DAB=
,求BF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】每年的3月15日是“國際消費者權益日”,許多家居商城都會利用這個契機進行打折促銷活動.甲賣家的某款沙發每套成本為5000元,在標價8000元的基礎上打9折銷售.
(1)現在甲賣家欲繼續降價吸引買主,問最多降價多少元,才能使利潤率不低于20%?
(2)據媒體爆料,有一些賣家先提高商品價格后再降價促銷,存在欺詐行為.乙賣家也銷售相同的沙發,其成本、標價與甲賣家一致,以前每周可售出8套,現乙賣家先將標價提高
,再大幅降價
元,使得這款沙發在3月15日那一天賣出的數量就比原來一周賣出的數量增加了
,這樣一天的利潤達到了50000元,求
的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了了解某學校七年級4個班共180人的體質健康情況,從各班分別抽取同樣數量的男生和女生組成一個樣本,如圖是根據樣本繪制的條形圖和扇形圖.
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(1)本次抽查的樣本容量是______.
(2)請補全條形圖和扇形圖中的百分數;
(3)請你估計全校七年級共有多少人優秀.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形EFGH的頂點E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上,頂點F,H在菱形ABCD的對角線BD上.
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(1)求證:BG=DE;
(2)若E為AD中點,FH=2,求菱形ABCD的周長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線
經過點A(
,0)和點B(1,
),與x軸的另一個交點為C.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)點D在對稱軸的右側,x軸上方的拋物線上,且∠BDA=∠DAC,求點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,連接BD,交拋物線對稱軸于點E,連接AE.
①判斷四邊形OAEB的形狀,并說明理由;
②點F是OB的中點,點M是直線BD的一個動點,且點M與點B不重合,當∠BMF=
∠MFO時,請直接寫出線段BM的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=k1x(x≥0)與雙曲線y=
(x>0)相交于點P(2,4).已知點A(4,0),B(0,3),連接AB,將Rt△AOB沿OP方向平移,使點O移動到點P,得到△A′PB′.過點A′作A′C∥y軸交雙曲線于點C,連接CP.
(1)求k1與k2的值;
(2)求直線PC的解析式;
(3)直接寫出線段AB掃過的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數y=﹣x+4的圖象與反比例函數y=
(k>0)的圖象相交于A,B兩點,與x軸相交于點C,連接OB,且
BOC的面積為2.則k=______.
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