Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=4，邊BC在其所在的直線上平移，平移后得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并利用圖1加以證明．

（3）在平移變換過程中，設y=S△OPB，BP=x(0≤x≤4)，求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由見解析（3）當P點在B點右側時，y＝（x＋2）21；當P點在B點左側時，y＝（x2）2＋1；當x＝4時，y有最大值為8．

【解析】

（1）根據平移的性質，可得PQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；

（2）根據正方形的性質，平移的性質，可得PQ與AB的關系，根據等腰直角三角形的判定與性質，可得∠PQO，根據全等三角形的判定與性質，可得AO與OP的數量關系，根據余角的性質，可得AO與OP的位置關系；

（3）根據等腰直角三角形的性質，可得OE的長，根據三角形的面積公式，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得到答案．

（1）四邊形APQD為平行四邊形，

理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ADBC，

∵邊BC在其所在的直線上平移，平移后得到的線段記為PQ，

∴

∴四邊形APQD為平行四邊形；

（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，

∴OB＝OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，

∴OA⊥OP；

（3）如圖，過O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當P點在B點右側時，

則BQ＝x＋4，OE＝，

∴y＝×x，即y＝（x＋2）21，

又∵0≤x≤4，

∴當x＝4時，y有最大值為8；

②如圖2，當P點在B點左側時，

則BQ＝4x，OE＝，

∴y＝×x，即y＝（x2）2＋1，

又∵0≤x≤4，

∴當x＝2時，y有最大值為1；

綜上所述，∴當x＝4時，y有最大值為8．