Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥BC交BC于點E，且DE＝AD，F為DC上一點，且AD＝FD，連接AF與DE交于點G．

（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的長；

（2）過點A作AH⊥AD，且AH＝CE，求證：AB＝DG+AH．

Answer 1

【答案】（1）GF＝1；（2）證明見解析．

【解析】

（1）過G作GH⊥CD于H，根據三角形的內角和得到∠CDE＝60°，根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，AB＝CD＝2，得到∠ADC＝120°，解直角三角形即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，根據平行四邊形的性質得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠DFA＝∠C，在DH上截取HM＝AH，得到∠HAM＝∠HMA，求得∠DAM＝∠H，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解：（1）如圖1，過G作GH⊥CD于H，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∵∠C＝60°，

∴∠CDE＝30°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB＝CD＝2，

∴∠ADC＝120°，

∵AD＝DF，

∴∠DAF＝∠DFA＝30°，

∴∠GDF＝∠DFG，

∴DG＝GF，

∵CD＝2，

∴DE＝CD＝，

∴DF＝，

∴HF＝DF＝，

∴GF＝1；

（2）∵AH⊥AD，DE⊥BC，

∴∠DAH＝∠DEC＝90°，

在△DAH與△DEC中，，

∴△DAH≌△DEC（SAS），

∴∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠DAB＝∠C，∠DFA＝∠BAF，

∵AD＝DF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠C，

如圖2，在DH上截取HM＝AH，

∴∠HAM＝∠HMA，

∴∠H＝180°﹣2∠HAM，

∵∠MAD＝90°﹣∠HAM，

∴∠DAM＝∠H，

∴∠MAD＝∠GFD，

在△ADM與△FDG中，，

∴△ADM≌△FDG（ASA），

∴DM＝DG，

∵AB＝CD＝DH＝HM+DM，

∴AB＝AH+DG．