Question

【題目】如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，過A點作AB⊥PO于點D，交⊙O于B，連接BC，PB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若cos∠PAB=，BC=2，求PO的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）連接OB，根據圓周角定理得到ABC=，證明≌，得到OBP=OAP，根據切線的判定定理證明；

（2）根據余弦的定義求出AO，證明∽，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

（1）證明：連接OB，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ABC＝，

∵ABPO，

∴POBC

∴AOP＝C，POB=OBC，OB=OC，

∴OBC＝C，AOP=POB

在和中，

∴≌

∴OBP=OAP，

∵PA為⊙O的切線，

∴OBP=OAP=，

∴PA為⊙O的切線；

（2）解：

∵PAB+BAC=，C+BAC=，

∴PAB=C，，

在RT△ABC中，

∴，

易證∽

∴

∴

故最后答案為5．