Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c和直線y=x+1交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在直線x=3上，直線x=3與x軸交于點C

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，點Q從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿線段CA向點A運動，點P，Q同時出發，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．以PQ為邊作矩形PQNM，使點N在直線x=3上．

①當t為何值時，矩形PQNM的面積最小？并求出最小面積；

②直接寫出當t為何值時，恰好有矩形PQNM的頂點落在拋物線上．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）①當t=時，面積最小是；②t=、或2.

【解析】

（1）利用待定系數法進行求解即可；

（2）①分別用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面積與t的函數關系式問題可解；

②由①利用線段中點坐標分別等于兩個端點橫縱坐標平均分的數量關系，表示點M坐標，分別討論M、N、Q在拋物線上時的情況，并分別求出t值．

（1）由已知，B點橫坐標為3，

∵A、B在y=x+1上，

∴A（﹣1，0），B（3，4），

把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得，

，解得：，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4；

（2）①如圖，過點P作PE⊥x軸于點E，

∵直線y=x+1與x軸夾角為45°，P點速度為每秒個單位長度，

∴t秒時點E坐標為（﹣1+t，0），Q點坐標為（3﹣2t，0），

∴EQ=4﹣3t，PE=t，

∵∠PQE+∠NQC=90°，

∠PQE+∠EPQ=90°，

∴∠EPQ=∠NQC，

∴△PQE∽△QNC，

∴，

∴矩形PQNM的面積S=PQNQ=2PQ2，

∵PQ2=PE2+EQ2，

∴S=2（）2=20t2﹣48t+32，

當t=時，

S最小=20×（）2﹣48×+32=；

②由①點Q坐標為（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），C（3，0），

∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QE=8﹣6t，

∴N點坐標為（3，8﹣6t），

由矩形對邊平行且相等，P（﹣1+t，t），Q （3﹣2t，0），

∴點M坐標為（3t﹣1，8﹣5t）

當M在拋物線上時，則有

8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4，

解得t=，

當點Q到A時，Q在拋物線上，此時t=2，

當N在拋物線上時，8﹣6t=4，

∴t=，

綜上所述當t=、或2時，矩形PQNM的頂點落在拋物線上．