Question

【題目】如圖1，已知拋物線與拋物線的形狀相同，開口方向相反，且相交于點(diǎn)和點(diǎn)．拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)為拋物線上兩點(diǎn)間一動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，與交于點(diǎn)．

（1）求拋物線與拋物線的解析式;

（2）四邊形的面積為，求的最大值，并寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）如圖2，的對稱軸為直線，與交于點(diǎn)，在(2)的條件下，直線上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）16；（-1,4）； （3）存在點(diǎn)的坐標(biāo)或（使得為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由見解析．

【解析】

（1）分別利用待定系數(shù)法求兩個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，則P（t，t2＋t＋6），Q（t，t2＋5t），表示PQ的長，根據(jù)兩三角形面積和可得S與t的關(guān)系式，配方后可得S的最大值；
（3）先確定∠AQB＝135°，然后分兩種情況討論可得結(jié)論．

解：（1）將代入得：，

∴，

∵與形狀相同，開口相反，

∴，

∴，

將代入得，

解得：，，

∴；

（2）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，

則，，

∴，

∴

，

∴當(dāng)時，，此時的坐標(biāo)為；

（3）存在點(diǎn)，

由得直線為：，

由（2）知點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，

且為,

令得：為，

如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，

作的延長線，垂足為點(diǎn)，易知，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴點(diǎn)在的上方，

， ，

,，

①若，則，

即

此時的坐標(biāo)為；

②若，則，

即，此時的坐標(biāo)為，

綜上可知存在點(diǎn)的坐標(biāo)或（使得為頂點(diǎn)的三角形與相似．