Question

【題目】如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．

（1） 求證：PC是⊙O的切線；

（2） 點D在劣弧AC什么位置時，才能使，為什么?

（3） 在（2）的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點D在劣弧AC中點位置時，才能使，理由見解析；（3）4.

【解析】

（1）連結OC，證明∠OCP=90°即可；

（2）乘積的形式可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出；

（3）可以先根據勾股定理得出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．

（1）證明：連結OC

∵PC=PF，OA=OC

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB

∴∠AHF=90°

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°

∴PC是⊙O的切線．

（2）解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使，理由如下：

連結AE

∵點D在劣弧AC中點位置

∴∠DAF=∠DEA

∵∠ADE=∠ADE

∴△DAF∽△DEA

∴AD∶DE=DF∶AD

∴

（3）解：連結OD交AC于G

∵OH=1，AH=2

∴OA=3

即OD=3

∴DH=

∵點D在劣弧AC中點位置

∴AC⊥DO

∴∠OGA=∠OHD=90°

在△OGA和△OHD中，

∴△OGA≌△OHD（AAS）

∴AG=DH

∴AC=4．