Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，點D為AB中點，點O為AC上一點，以O為圓心，半徑為1cm的圓與AB相切，點E為切點．
（1）求線段AO的長；
（2）若將⊙O以1cm/s的速度移動，移動中的圓心記為P，點P沿O?C?B?A的路徑運動，設移動的時間為t（s），則當t為何值時，⊙P與直線CD相切？

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，易得∠A的正弦值，進而可在Rt△AOE中，根據OE的長求得OA的值．
（2）當⊙P與CD相切時，一共有四個時間點：
①當P在線段AC上與CD相切時，過P作CD的垂線，設垂足為G，由于D是AB中點，易知∠DCA=∠A，因此根據∠A的正弦值即可得PC的值，進而可求得OP的長，即可得t的值；
②當P在線段BC上且與CD相切時，解法同①；
③當P在線段BD上與CD相切時，過P作CD的垂線，設垂足為M；那么關鍵是求出PD的長，過P作PQ⊥CD于Q，易得△ABC的面積，由于D是AB中點，則△BCD的面積是△ABC面積的一半，那么可根據△BCD的面積來求得BQ的長，進而根據△PDM∽△BDQ來得到DP的長，從而求得BP+BC+OC的值，即可得t的值；
④當P在線段AD上與CD相切時，解法同③．

解答：解：（1）Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5cm；
則sin∠A=

3

5

；
由于BA切⊙O于E，則∠OEA=90°；
在Rt△OEA中，AO=OE÷sin∠A=

5

3

cm．

（2）如圖；
①當P位于線段OC上時，設⊙P與CD的切點為G，則P₁G⊥CD；
由于D是AB的中點，所以CD=DA，即∠DCA=∠A，
因此P₁C=OA=

5

3

cm，OP₁=AC-2OA=

2

3

cm，
∴t=

2

3

s；
②當P位于線段CB上時，設⊙P與CD的切點為H，則P₂H⊥CD；
同①可得：P₂C=

5

4

cm，因此P點運動的距離為：
OC+P₂C=

7

3

+

5

4

=

43

12

cm，即t=

43

12

s；
③當P位于線段BD上時，P₃M⊥CD，過B作BQ⊥CN于Q；
易知：S_△ABC=6cm²，由于D是AB中點，則S_△BCD=3cm²；
而CD=

1

2

AB=

5

2

cm，可求得CD邊上的高為：BQ=

12

5

cm；
易知：△PDM∽△BDQ，則

P3M

BQ

=

P3D

BD

，即

1

12 5

=

P3D

5 2

，P₃D=

25

24

cm；
因此P₃B+BC+OC=

163

24

cm，即t=

163

24

s；
④當P位于線段AD上時，同③可求得t=

213

24

s；
綜上可知：當t分別為

2

3

s、

43

12

s、

163

24

s、

213

24

s時，⊙P與直線CD相切．

點評：此題主要考查的知識點是切線的性質，還涉及到解直角三角形、相似三角形的判定和性質以及直角三角形的性質等知識，綜合性強，要注意（2）題中分類討論思想的運用，不要漏解．