Question

【題目】如圖，是的直徑，．

（1）求證：是的切線；

（2）若點是的中點，連接交于點，當，時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，從而可判斷AC是⊙O的切線;

（2）根據（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，從而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長.

（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已證），
∴,即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD= ,

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF= .