Question

如圖，在正方形ABCD內，以D點為圓心，AD長為半徑的弧與以BC為直徑的半圓交于點P，延長CP、AP交AB、BC于點M、N．若AB=2，則AP等于（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  2 10

  5

• C、

  2 5

  5

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：設點S為BC的中點，連接，DP，DS，DS與PC交于點W，作PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F，從而可證△DCS≌△DPS，也推∠DPS=∠DCB=90°，然后求出AP、PF，再根據勾股定理求出AP．

解答：解：如圖，設點S為BC的中點，連接DP，DS，DS與PC交于點W，作PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F，
∴DP=CD=2，PS=CS=1，即DS是PC的中垂線，
∴△DCS≌△DPS，
∴∠DPS=∠DCB=90°，
∴DS=

DC2+CS2

=

22+12

=

5

，
由三角形的面積公式可得PC=

4 5

5

，
∵BC為直徑，
∴∠CPB=90°，
∴PB=

BC2-PC2

=

2 5

5

，
∴PE=FB=

PC•PB

BC

=

4

5

，
∴PF=BE=

PB2-PE2

=

2

5

，
∴AF=AB-FB=

6

5

，
∴AP=

AF2+PF2

=

2 10

5

故選B．

點評：本題利用了正方形的性質，中垂線的性質，勾股定理，射影定理求解．