Question

【題目】一次函數(shù)y＝﹣2x﹣2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．頂點(diǎn)為（1，4）的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，△ABC的面積為S．當(dāng)m為何值時(shí)，S的值最大，并求S的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)M在y軸上，△ACM為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3

（2）當(dāng)m＝2時(shí)，S的值最大，最大值為

（3）（0，﹣1）、（0，5）、或

【解析】

(1)設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求解.
(2)連接0C，可得點(diǎn)根據(jù)一次函數(shù)y=-2x-2得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后利用三角形面積公式得出的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的表達(dá)式即可求解.

(3)設(shè)M（0，n），已知A、C點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線AC的解析式，分三種情況，當(dāng)AC⊥MC，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AC⊥AM時(shí)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AM⊥MC時(shí)，求出M點(diǎn)坐標(biāo).

（1）一次函數(shù)y＝﹣2x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，4），

∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），

∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，

∴a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）連接OC，點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，

∴C（m，﹣m2+2m+3），

一次函數(shù)y＝﹣2x﹣2與y軸交于點(diǎn)B，則OB＝2，

∵A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，S的值最大，最大值為.

（3）設(shè)M（0，n），

∵A（﹣1，0），C（2，3），

∴直線AC的解析式為y＝x+1，

①當(dāng)AC⊥MC時(shí)，＝﹣1，

∴n＝5，

∴M（0，5）；

②當(dāng)AC⊥AM時(shí)，n＝﹣1，

∴M（0，﹣1）；

③當(dāng)AM⊥MC時(shí)，n＝﹣1，

∴n＝

∴M（0，）或M（0，）；

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣1）、（0，5）、（0，）或（0，）．