Question

【題目】如圖,已知⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F,點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB；

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：△EAF∽△CBA

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：(1)、連接CD，根據直徑所對的圓周角為直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根據同弧所對的圓周角相等得出∠BAC=∠EDC，然后結合已知條件得出∠EAB+∠BAC=90°，從而說明切線；(2)、連接BC，根據直徑的性質得出∠ABC=90°，根據B是EF的中點得出AB=EF，即∠BAC=∠AFE，則得出三角形相似；(3)、根據三角形相似得出，根據AF和CF的長度得出AC的長度，然后根據EF=2AB代入求出AB和EF的長度，最后根據Rt△AEF的勾股定理求出AE的長度.

試題解析：(1)、如答圖1，連接CD， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°. ∴∠ADB+∠EDC=90°.

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°. ∴EA是⊙O的切線.

(2)、如答圖2，連接BC， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=∠ABC=90°.

∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF. ∴∠BAC=∠AFE. ∴△EAF∽△CBA.

(3)、∵△EAF∽△CBA，∴. ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB.

∴，解得AB=2.∴EF=4.

∴AE=.