【題目】如圖，已知平行四邊形
中，
，
，
.平行四邊形
的頂點
在線段
上（點
在
的左邊），頂點
分別在線段
和
上.
（1）求證：
；
（2）如圖1，將
沿直線折疊得到
，當
恰好經過點
時，求證：四邊形是菱形；
（3）如圖2，若四邊形是矩形，且
，求
的長.（結果中的分母可保留根式）
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）
【解析】
（1）根據平行四邊形的性質可得
，從而得出
，再根據平行四邊形的性質可得：
，
，從而得出
，即可得
，理由AAS即可證出
，從而得出
；
（2）根據折疊的性質可得
，根據（1）中的結論可得：
，再根據等角對等邊可得
，從而得出
，理由SAS即可證出
，從而得出
，根據菱形的定義可得四邊形
是菱形；
（3）過點
作
于點
，連接
交
于
.設
，根據矩形的性質和平行的性質可得
，
，然后用
分別表示出HQ、HN和BH，利用銳角三角函數即可求出x，從而求出
的長.
解：（1）如圖，∵四邊形
是平行四邊形，
∴.
∴.
∵四邊形是平行四邊形，
∴，.
∴.
∴
在
和
中
∴.
∴.
（2）如圖，∵
與
關于
對稱，
∴.
由（1）得，
∴.
∴.
由（1）得，
∴.
∴.
由（1）得，
∴.
∵
，
在
和
中
∴.
∴.
∴
是菱形.
（3）如圖，過點作于點，連接交于.設，
∵四邊形
是矩形，
，
∴，，
∴
，
，
.
在
中，由
，得
，
解得
.
∴
.
優質課堂快樂成長系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】觀察下列各式及其驗證過程：
，驗證：
，驗證：
．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想
的變形結果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規律，直接寫出用a（a≥2的整數）表示的等式．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，直角頂點C的坐標為（1，0），頂點A的坐標為（0，2），頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上，現將直角三角板沿x軸正方向平移，當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動，則此時點C的對應點C′的坐標為（ ）
A.（
，0）B.（2，0）C.（
，0）D.（3，0）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在坐標系
中，拋物線
經過點
和
，與
軸交于點
.直線
.
拋物線的解析式為 .直線
的解析式為 ；
若直線
與拋物線只有一個公共點，求直線的解析式；
設拋物線的頂點關于軸的對稱點為
，點
是拋物線對稱軸上一動點，如果直線
與拋物線在
軸上方的部分形成了封閉圖形(記為圖形
).請結合函數的圖象，直接寫出點的縱坐標
的取值范圍.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】學校打算用長
米的籬笆圍城一個長方形的生物園飼養小兔，生物園的一面靠在長為
米的墻上（如圖）．
（1）若生物園的面積為
平方米，求生物園的長和寬；
（2）能否圍城面積為
平方米的生物園？若能，求出長和寬；若不能，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90°，將扇形OAB繞點B逆時針旋轉，得到扇形BDC，若點O剛好落在弧AB上的點D處，則
的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，∠ABC＝120°，線段AC繞點C順時針旋轉60°得到線段CD，連接BD．
（1）如圖1，若AB＝BC，求證：BD平分∠ABC；
（2）如圖2，若AB＝2BC，
①求
的值；
②連接AD，當S△ABC＝
時，直接寫出四邊形ABCD的面積為 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線交點，則線段GF的最小值為_______.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在△ABC中，AC＝nAB，∠CAB＝α，點E，F分別在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF繞點A順時針旋轉到如圖2的位置．連接CF，BE．
（1）求證：∠ACF＝∠ABE；
（2）若點M，N分別是EF，BC的中點，當α＝90°時，求證：BE2+CF2＝4MN2；
（3）如圖3，點M，N分別在EF，BC上且
＝
＝
，若n＝
，α＝135°，BE＝，直接寫出MN的長．
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