Question

如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、點C，經過A、C兩點的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點為B，頂點P的橫坐標為-2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，得△ABC．若點D在x軸上，且以點P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，求出點P的坐標并直接寫出此時△PBD外接圓的半徑；
（3）設直線l：y=x+t，若在直線l上總存在兩個不同的點E，使得∠AEB為直角，則t的取值范圍是

2-

2

＜t＜2+

2

，且t≠1、t≠3

；
（4）點F是拋物線上一動點，若∠AFC為直角，則點F坐標為

（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）或（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：（1）知道了拋物線頂點P的橫坐標，那么也就知道了拋物線的對稱軸方程，點A、C的坐標可由直線AC求得，而點A、B關于拋物線對稱軸對稱，所以點B的坐標可得，再由待定系數法確定拋物線的解析式．
（2）由A、P、B、C四點坐標不難看出：∠PBA=∠CAB=45°，那么若以點P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，只需找出另一組對應角相等即可，分兩種情況討論：①∠PCB=∠ABC，②∠BPC=∠ABC；在上述兩種情況中，先設出點D的坐標，再表示出BD、BP、AB、AC的長，根據得到的不同比例線段，列式求出點D的坐標．知道了PD的長，由2r=

PD

sin∠PBD

求出三角形的外接圓半徑．
（3）∠AEB是直角，那么點E必為以AB為直徑的圓與直線l的交點，若符合條件的點E有兩個，那么直線l與以AB為直角的圓有兩個交點，所以在判斷t的取值范圍時，考慮兩個方面：①先求出最大、最小值，此時直線l與以AB為直角的圓相切；②∠AEB是直角，那么點A、E或點B、E不重合，即直線l不能經過點A、B．
（4）過點F作y軸的垂線FH，過點F作x軸的垂線FG，先證明△AFG∽△CFH，根據得到比例線段列式求出點F的坐標．

解答：解：（1）由直線y=x+3知，點A（-3，0）、C（0，3）；
拋物線的頂點P的橫坐標為-2，所以對稱軸x=-2，則 B（-1，0）；
將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式中，得：

9a-3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

故拋物線的解析式：y=x²+4x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
則頂點P（-2，-1）；
已知A（-3，0）、C（0，3），B（-1，0）、P（-2，-1）知：∠CAB=∠PBA=45°，AB=2、AC=3

2

、BP=

2

；
①當∠ABC=∠BPD₁時，△ABC∽△BPD₁，得：

BP

AB

=

BD1

AC

，即

2

2

=

BD1

3 2

，BD₁=3；
則D₁（-4，0），則 PD₁=

5

；
故△PBD外接圓半徑 r₁=

PD1

2sin∠PBD

=

5

2•sin45°

=

5

2• 2 2

=

10

2

；
②當∠ABC=∠BD₂P時，△ABC∽△BD₂P，得：

BP

AC

=

BD2

AB

，即

2

3 2

=

BD2

2

，BD₂=

2

3

；
則D₂（-

5

3

，0），則 PD₂=

10

3

；
故△PBD外接圓半徑 r₂=

PD2

2sin∠PBD

=

10 3

2•sin45°

=

10 3

2• 2 2

=

5

3

；
綜上，有兩組解分別是：①P（-2，-1），D₁（-4，0），r₁=

10

2

；②P（-2，-1），D₂（-

5

3

，0），r₂=

5

3

．

（3）若∠AEB為直角，那么點E在以AB為直徑的⊙Q上，那么點E為直線l與⊙Q的交點（如右圖）；
取與直線l平行，且與⊙Q相切的直線l′、l″，如右圖，設切點分別為M、N；
∵直線l∥直線l′∥直線l″，且它們的斜率k=1，
∴∠MKQ=∠NQL=45°．
Rt△KMQ中，QM=

1

2

AB=1，∠MKQ=45°，則 KQ=

2

，
同理可得 QL=

2

；
∴K（-2-

2

，0）、L（-2+

2

，0）；
若直線l與⊙Q始終有兩個交點，那么直線l必在直線l′、l″之間，由于直線l與x軸交點為（-t，0），有：
-2-

2

＜-t＜-2+

2

，即 2-

2

＜t＜2+

2

；
而∠AEB是直角，那么點A與點E以及點B與點E都不重合，即直線l不經過點A、B，所以，-t≠-1，且-t≠-3；
綜上，t的取值范圍：2-

2

＜t＜2+

2

，且t≠1、t≠3．

（4）設點F（x，x²+4x+3），若∠AFC=90°，那么點F在y軸左側；
①當點F在x軸下方時，過點F作FG⊥x軸于G，FH⊥y軸于H，如圖①；
OG=FH=-x，FG=OH=-（x²+4x+3），
AG=OA-OG=3-（-x）=3+x，CH=OC+OH=3-（x²+4x+3）=-（x²+4x）；
∵∠FAC+∠ACF=90°，即∠CAG+∠FAG+∠ACF=90°，又∠CAG=45°，
∴∠FAG+∠ACF=45°；
∵∠ACO=∠ACF+∠FCH=45°，
∴∠FAG=∠FCH；
又∵∠AGF=∠CHF，
∴△AFG∽△CFH，得：

AG

CH

=

FG

FH

，即

x+3

-x(x+4)

=

-(x+1)(x+3)

-x

，
解得：x₁=

-5+ 5

2

、x₂=

-5- 5

2

（舍）；
則F（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）；
②當點F在x軸上方時，如圖②；
同①求得 F（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）．
綜上，點F的坐標為：（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）或（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）．

點評：此題考查了難度較大的函數與幾何的綜合題，主要涉及了：函數解析式的確定、三角形外接圓半徑的求法、圓周角、直線與圓的位置關系以及相似三角形的判定和性質等重點知識；第三題中，由直角聯想到圓是打開思路的關鍵；第二、四小題涉及到多種情況，應通過圖形將各種情況分別列出進行分類討論，以免出現漏解的情況．