Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）96．

【解析】

(1)先證明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根據一組對邊平行且相等可得四邊形ADCF是平行四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質得：AD＝CD，根據菱形的判定即可證明四邊形ADCF是菱形；

(2)先根據菱形和三角形的面積可得：菱形ADCF的面積＝直角三角形ABC的面積，即可解答．

解：(1)證明：∵E是AD的中點，

∴AE＝DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

∵，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，

∴AD＝CD＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：設AF到CD的距離為h，

∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴S菱形ADCF＝CDh＝BCh＝S△ABC＝ABAC＝×12×16＝96．