Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，8)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，0)．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ＝CP，連接PQ，設(shè)CP＝m，△CPQ的面積為S．

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點(diǎn)F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+8；(2)①S＝﹣m2+3m；②滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為F1(，8)，F2(，4)，F3(，6+)，F4(，6﹣)．

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解；（2）①根據(jù)三角函數(shù)值性質(zhì)得；②求函數(shù)的最值，根據(jù)拋物線性質(zhì)求出D,Q的坐標(biāo)，根據(jù)直角的位置有3種可能，展開分析，解直角三角形.

(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝

(2)①∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝

過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則sin∠ACB＝

②

∴當(dāng)m＝5時(shí)，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y＝的對稱軸為x＝，

D的坐標(biāo)為(3，8)，Q(3，4)，

當(dāng)∠FDQ＝90°時(shí)，F1(，8)，

當(dāng)∠FQD＝90°時(shí)，則F2(，4)，

當(dāng)∠DFQ＝90°時(shí)，設(shè)F(，n)，

則FD2+FQ2＝DQ2，

即 +(8﹣n)2+ +(n﹣4)2＝16，

解得：n＝6±，

∴F3(，6+ )，F4(，6﹣)，

滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為

F1(，8)，F2(，4)，F3(，6+ )，F4(，6﹣)．