Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于點D，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，現有下列結論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE.其中，正確的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析:①由角平分線的性質可知①正確；②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=，DF=，從而可證明②正確；③若DM平分∠ADF，則∠EDM=90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE=FC，從而可證明④．

解：如圖所示：連接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF．

∴①正確．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=AD．

同理：DF=．

∴DE+DF=AD．

∴②正確．

③由題意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假設MD平分∠ADF，則∠ADM=30°．則∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC是否等于90°不知道，

∴不能判定MD平分∠ADF．

故③錯誤．

④∵DM是BC的垂直平分線，

∴DB=DC．

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD．

∴BE=FC．

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC

又∵AE=AF，BE=FC，

∴AB+AC=2AE．

故④正確．

故選：C．