Question

我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法．請你用等面積法來探究下列兩個(gè)問題：
（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請你用它來驗(yàn)證勾股定理；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式．
（2）先由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積求CD的長即可．

解答：解：（1）∵大正方形面積為c²，直角三角形面積為 

1

2

ab，小正方形面積為：（b-a）²，
∴c²=4×

1

2

ab+（a-b）²=2ab+a²-2ab+b²
即c²=a²+b²．
（2）在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴由勾股定理，得：AB=

AC2+BC2

=

42+32

=5
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD
∴CD=

4×3

5

=

12

5

．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對勾股定理的證明和對三角形和正方形面積公式的熟練掌握和運(yùn)用，屬于基本題型．