Question

【題目】定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱該三角形為中垂三角形．

（1）如圖（1），是中垂三角形，，分別是，邊上的中線，且于點，若，求證：是等腰三角形．

　　　　　　　　　

（2）如圖（2），在中垂三角形中，，分別是邊，上的中線，且于點，猜想，，之間的數量關系，并加以證明．

（3）如圖（3），四邊形是菱形，對角線，交于點，點，分別是，的中點，連接，并延長，交于點．

①求證：是中垂三角形；

②若，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.證明見解析；（3）①見解析；②40.

【解析】

（1）連接DE，根據三角形中位線定理可得，繼而，由等角對等邊可得，可得根據全等三角形的判定方法可證得，進而可得，由題意可得，最后由等邊對等角即可證得結論；

（2）如圖，連接，由中位線定理可得，，，再列式由勾股定理、等量代換即可求證；

（3）①先證得MN是△AOD的中位線，再根據菱形的性質可得：CM⊥BN，AD∥BC且AD＝BC，繼而可得，，繼而即可求證結論；

②根據菱形的性質可得：BC＝AB，再由題（2）的結論可得， 代入數值即可求解．

（1）證明：∵，，.

連接，由題意可得是的中位線，

∴，

∴，

∴，.

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰三角形.

（2）.

證明：如圖，連接，

∵，分別是邊，上的中線，

∴，，，

∴，，，

∴

.

（3）①證明：如圖，連接.

∵點，分別是，的中點，

∴是的中位線，

則，且.

∵四邊形是菱形，

∴，，且，

∴，，

從而易得，，

∴，是的中線，

∴是中垂三角形.

②40.

由（2）易得.