Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，AD平分∠BDE．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）如果AB＝6，AE＝3，求：陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接OA，利用已知首先得出OA∥DE，進而證明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切線；

（2）通過證明△BAD∽△AED，再利用對應邊成比例關系從而求出⊙O半徑的長，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OA，

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠2．

∵DA平分∠BDE，

∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴OA∥DE．

∴∠OAE+∠AED=180°，

∵AE⊥CD，

∴

∴∠OAE＝90°，

即OA⊥AE．

又∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD＝90°．

∵∠AED＝90°，

∴∠BAD＝∠AED，

又∵∠2＝∠3，

∴．

∴

∵BA＝6，AE＝3，

∴BD＝2AD，

∴∠ABD＝30°，

由

∴BD＝，

延長AO交BC于H，

則四邊形AHCE是矩形，

∴∠AHC＝90°，CH＝AE＝3，

∴BC＝2CH＝6，

∴cos∠CBD＝

∴∠CBD＝30°，

∴∠COD＝∠AOD＝60°，

由陰影部分面積＝

∴陰影部分面積＝