Question

【題目】如圖，已知和均為的等邊三角形，點為的中點，過點與平行的直線交射線于點．

（1）當，，三點在同一直線上時（如圖1），求證：為中點；

（2）將圖1中的繞點旋轉，當，，三點在同一直線上時（如圖2），求證：為等邊三角形；

（3）將圖2中繞點繼續順時針旋轉多少度時，點恰好第一次位于線段中點，試作出圖形并直接寫出繞點繼續旋轉的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）繞點繼續順時針旋轉30度時，點恰好第一次位于線段中點

【解析】

(1) 根據，點為的中點，可證明，從而，可得到答案；

(2) 先證明，得到，再證由一個角是60°，即證明是等邊三角形；

(3) 先證明，證，得到是等邊三角形，再利用點恰好第一次位于線段中點，可得到答案.

證明：（1）∵，

∴，，

∵點為的中點，

∴，

在和中，

∴，

∴，即為中點．

（2）∵，

∴，（1）中已經證明，

∴，

∵，，三點在同一直線上，

∴，

∵，，

在和中，

∴．

∴，．

∴為等邊三角形（由一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．

（3）如圖，當繞點繼續旋轉時，點在線段上．

繞點繼續旋轉30度時，點恰好第一次位于線段中點．

（附理由：∵，

∴（1）中已經證明，

∴，

∵，，

∴．

又，

∴．

∵，

∴．

∴，．

∴為等邊三角形．

∴當點恰好位于線段中點時，，

∴．

∵，

∴，

即繞點繼續順時針旋轉30度時，點恰好第一次位于線段中點．