Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點C（1，-3），與x軸交于A，B兩點，A（-1，0）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A，D，B，E，點P為線段AB上一個動點（P與A，B兩點不重合），過點P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請判斷

PM

BE

+

PN

AD

是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FG⊥EP，FG分別與邊AE，BE相交于點F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請判斷

PA

PB

=

EF

EG

是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點坐標就可以利用頂點式求函數的解析式．
（2）AB是圓的直徑，因而∠ADB=∠AEB=90°，得到PN∥AD，得到

PN

AD

=

BP

AB

，同理

PM

BE

=

AP

AB

，這樣就可以求出

PM

BE

+

PN

AD

的值．
（3）易證△AEB為等腰直角三角形，過點P作PH⊥BE與H，四邊形PHEM是矩形，易證△APM∽△PBH，則

PA

PB

=

PM

PH

=

PM

ME

，再證明△MEP∽△EGF，則

PM

ME

=

EF

EG

因而

PA

PB

=

EF

EG

可證．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-3（1分）
將A（-1，0）代入：0=a（-1-1）²-3，
解得a=

3

4

（2分）
所以，拋物線的解析式為y=

3

4

（x-1）²-3，即y=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

（3分）

（2）是定值，

PM

BE

+

PN

AD

=1（4分）
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
所以

PM

BE

=

AP

AB

①
同理：

PN

AD

=

PB

AB

②（5分）
①+②：

PM

BE

+

PN

AD

=

AP

AB

+

PB

AB

=1（6分）

（3）∵直線EC為拋物線對稱軸，
∴EC垂直平分AB，
∴EA=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）
如圖，過點P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形．
∴PH=ME且PH∥ME．
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°，
∴PH=BH，且△APM∽△PBH，
∴

PA

PB

=

PM

BH

，
∴

PA

PB

=

PM

PH

=

PM

ME

①（8分）
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG=90°，
∵∠MEP+∠SEG=90°，
∴∠FGE=∠MEP，
∵∠PME=∠FEG=90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴

PM

ME

=

EF

EG

②
由①、②知：

PA

PB

=

EF

EG

（9分）（本題若按分類證明，只要合理，可給滿分）

點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，以及相似三角形的對應邊的比相等．