Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結論：①AF＝DE，②AF⊥DE（不須證明）．

（1）如圖②，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE＝DF，則上面的結論①、②是否仍然成立；（請直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如圖③，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE＝DF，此時上面的結論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（3）如圖④，在（2）的基礎上，連接AE和EF，若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種，并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】解：（1）成立；（2）成立．

四邊形是正方形，,．

又，．．

又，．，．

（3）正方形．證明：，

，同理，．

四邊形是平行四邊形．

又，．

又，．平行四邊形是菱形．

．

又，．，菱形是正方形．

【解析】

（1）根據正方形的性質證明△DEC≌△AFD即可知道結論成立．

（2）由已知得四邊形ABCD為正方形，證明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；進而得出AF⊥DE；

（3）首先根據題意證明四邊形MNPQ是菱形，然后又因為AF⊥DE，得出四邊形MNPQ為正方形．