Question

【題目】如圖1，已知，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，連接AO并延長交BC于點H．

（1）求外接圓⊙O的半徑；

（2）如圖2，點D是AH上（不與點A，H重合）的動點，以CD，CB為邊，作平行四邊形CDEB，DE分別交⊙O于點N，交AB邊于點M．

①連接BN，當BN⊥DE時，求AM的值；

②如圖3，延長ED交AC于點F，求證：NM·NF=AM·MB；

③設AM=x，要使-2<0成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）半徑為；（2）①；②詳見解析；③當時，有成立．

【解析】

（1）如下圖，在Rt△ABH中，先求得AH的值，設OA=r，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求得r的長；

（2）①如下圖，在，可求得BN的長，然后在矩形NBHD中，求得AD的值，最后利用cos∠MAD求得AM；

②如下圖，同過證可得結論；

③如下圖，通過轉換，先得出這個等式，然后利用，設AM=x，可得到關于x的方程，進而求出x的取值范圍．

解：（1）如圖1，連接，

∵過圓心，∴，

∵，∴，

在中，，

設半徑，則，在中，，

解得，即半徑為．

（2）①如圖2，連接

在平行四邊形中，，∴．

∵，即，∴．

∴是的直徑．．

∴在中，．

∵四邊形CDEB是平行四邊形，NB⊥BH，DH⊥BH

∴四邊形是矩形，

∴，，∴．

∴在中，，∴，

②如圖3，連接，，

∵，∴．

∵，∴．

由，可得，

∴，．

∴，．

∴，即．

③∵，，∴，∵，∴，

∴

．

∵，∴，

由，得，

∴．

該函數圖象的示意圖如圖4

易求得點坐標為

∴當時，有成立．