Question

如圖，已知直線l經過點A（1，0），與雙曲線y=

m

x

（x＞0）交于點B（2，1）．過點P（p，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交雙曲線y=

m

x

（x＞0）和y=-

m

x

（x＜0）于點M、N．
（1）求m的值和直線l的解析式；
（2）若點P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點B的坐標代入即可得出m的值，設直線l的解析式為y=kx+b，再把點A、B的坐標代入，解方程組求得k和b即可得出直線l的解析式；
（2）根據點P在直線y=2上，求出點P的坐標，再證明△PMB∽△PNA即可；
（3）先假設存在，利用S_△AMN=4S_△AMP．求得p的值，看是否符合要求．

解答：（1）解：∵B（2，1）在雙曲線y=

m

x

（x＞0）上，
∴m=2，
設直線l的解析式為y=kx+b，
則

k+b=0 2k+b=1

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線l的解析式為y=x-1；

（2）證明：∵點P（p，p-1）（p＞1），點P在直線y=2上，
∴p-1=2，
解得p=3，
∴P（3，2），
∴PM=2，PN=4，PA=2

2

，PB=

2

，
∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，
∴△PMB∽△PNA；

（3）解：存在實數p，使得S_△AMN=4S_△AMP．
∵P（p，p-1）（p＞1），
∴點M、N的縱坐標都為p-1，
將y=p-1代入y=

2

x

和y=-

2

x

，
得x=

2

p-1

和x=-

2

p-1

，
∴M、N的坐標分別為（

2

p-1

，p-1），（-

2

p-1

，p-1），
①當1＜p＜2時，
MN=

4

p-1

，PM=

2

p-1

-p，
∵S_△AMN=

1

2

MN×（p-1）=2，S_△AMP=

1

2

MP×（p-1）=-

1

2

p²+

1

2

p+1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（-

1

2

p²+

1

2

p+1），
整理，得p²-p-1=0，
解得：p=

1± 5

2

，
∵1＜p＜2，
∴p=

1+ 5

2

，
②當p＞2時，
MN=

4

p-1

，PM=p-

2

P-1

，
∵S_△AMN=

1

2

MN×（p-1）=2，S_△AMP=

1

2

MP×（p-1）=

1

2

p²-

1

2

p-1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（

1

2

p²-

1

2

p-1），
整理，得p²-p-3=0，解得p=

1± 13

2

，
∵p大于2，
∴p=

1+ 13

2

，
∴存在實數p=

1+ 13

2

或

1+  5

2

使得S_△AMN=4S_△AMP．

點評：本題考查的知識點是反比例函數的綜合題，以及用待定系數法求反比例函數和一次函數的解析式，相似三角形的判定和性質．