Question

【題目】已知點(diǎn)，拋物線與軸從左到右的交點(diǎn)為，．

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求的值；

（3）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

①求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若線段與拋物線有唯一公共點(diǎn)，直接寫出正整數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①，②和

【解析】

（1）由拋物線經(jīng)過(guò)，把點(diǎn)M代入即可求出，拋物線的解析式即求出；把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可得頂點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）方法一：利用拋物與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的特點(diǎn)求解，設(shè)，則，，由拋物線對(duì)稱軸為直線：，①當(dāng)，則可得，求出，此時(shí)代入拋物線可求出；②當(dāng)，則，此時(shí)可出，此時(shí)代入拋物線解析式得；綜上所述即為的值；

方法二：利用物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，用判別式得出的取值范圍，令，用求根公式表示出方程的解，當(dāng)時(shí)，可得兩個(gè)解的關(guān)系，解之，即可得的值；

（3）①把代入直線，即可得b的值，寫出直線解析式，令，即可求與軸交于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即求得點(diǎn)坐標(biāo)；

②由線段與拋物線有唯一公共點(diǎn)，聯(lián)立直線和拋物線的方程，可解得此時(shí)符合題意的；當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),解得c=2 ,此時(shí)拋物線與線段MN有2個(gè)公共點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)拋物線往下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，解得c=-1 ,此時(shí)拋物線與線段MN只有交點(diǎn)N，當(dāng)-1≤c<2時(shí),拋物線與線段MN只有-個(gè)公共點(diǎn)，而此時(shí)滿足條件的正整數(shù)c的值為1，綜上所述，即可得符合條件的的值．

解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)，

，

解得：．

，

，

頂點(diǎn)為，

（2）方法一：

設(shè)，則，，

①若，則，

拋物線對(duì)稱軸為直線：，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

，即，

解得：，

代入拋物線解析式得：，

解得：；

②若，則，

，

解得：，

代入拋物線解析式得：，

解得：；

綜上所述的值為或．

方法二：

（2）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

，

解得，

令，

解得，

點(diǎn)，

點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，

，

或

，解得或．

（3）①直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

，

解得：，

直線解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)坐標(biāo)為．

②滿足條件的正整數(shù)的值為和；

理由如下：

當(dāng)線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

，

∴，

△，

所以，

此時(shí)方程的解為，

∴此時(shí)交點(diǎn)在線段上，滿足題意段與拋物線有唯一公共點(diǎn)；

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),解得c=2 ,此時(shí)拋物線與線段MN有2個(gè)公共點(diǎn)，與題意不符；

當(dāng)拋物線往下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，解得c=-1 ,此時(shí)拋物線與線段MN只有交點(diǎn)N，

∴當(dāng)-1≤c<2時(shí),拋物線與線段MN只有-個(gè)公共點(diǎn)

∴此時(shí)滿足條件的正整數(shù)c的值為1；

綜上所述，滿足條件的正整數(shù)c的值為1或3．