Question

【題目】在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分（如圖1所示建立直角坐標系），拋物線頂點為點B．

（1）求該拋物線的函數表達式．

（2）當球運動到點C時被東東搶到，CD⊥x軸于點D，CD＝2.6m．

①求OD的長．

②東東搶到球后，因遭對方防守無法投籃，他在點D處垂直起跳傳球，想將球沿直線快速傳給隊友華華，目標為華華的接球點E（4，1.3）．東東起跳后所持球離地面高度h1（m）（傳球前）與東東起跳后時間t（s）滿足函數關系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在點F（1.5，0）處攔截，他比東東晚0.3s垂直起跳，其攔截高度h2（m）與東東起跳后時間t（s）的函數關系如圖2所示（其中兩條拋物線的形狀相同）．東東的直線傳球能否越過小戴的攔截傳到點E？若能，東東應在起跳后什么時間范圍內傳球？若不能，請說明理由（直線傳球過程中球運動時間忽略不計）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32；（2）①1m；②能，

【解析】

（1）設y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），將A（0，3）代入求解即可得出答案；

（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m；

②東東在點D跳起傳球與小戴在點F處攔截的示意圖如圖2，設MD＝h1，NF＝h2，當點M，N，E三點共線時，過點E作EG⊥MD于點G，交NF于點H，過點N作NP⊥MD于點P，證明△MPN∽△NEH，得出，則NH＝5MP．分不同情況：（Ⅰ）當0≤t≤0.3時，（Ⅱ）當0.3＜t≤0.65時，（Ⅲ）當0.65＜t≤1時，分別求出t的范圍可得出答案．

解：（1）設y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），

把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，

∴拋物線的函數表達式為y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．

（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，

化簡得（x﹣0.4）2＝0.36，

解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，

∴OD＝1m．

②東東的直線傳球能越過小戴的攔截傳到點E．

由圖1可得，當0≤t≤0.3時，h2＝2.2．

當0.3＜t≤1.3時，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．

當h1﹣h2＝0時，t＝0.65，

東東在點D跳起傳球與小戴在點F處攔截的示意圖如圖2，

設MD＝h1，NF＝h2，

當點M，N，E三點共線時，過點E作EG⊥MD于點G，交NF于點H，過點N作NP⊥MD于點P，

∴MD∥NF，PN∥EG，

∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，

∴△MPN∽△NEH，

∴，

∵PN＝0.5，HE＝2.5，

∴NH＝5MP．

（Ⅰ）當0≤t≤0.3時，

MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，

NH＝2.2﹣1.3＝0.9．

∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，

整理得（t﹣0.5）2＝0.16，

解得（舍去），，

當0≤t≤0.3時，MP隨t的增大而增大，

∴．

（Ⅱ）當0.3＜t≤0.65時，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，

NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，

∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），

整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，

解得，（舍去），，

當0.3＜t≤0.65時，MP隨t的增大而減小，

∴．

（Ⅲ）當0.65＜t≤1時，h1＜h2，不可能．

給上所述，東東在起跳后傳球的時間范圍為．