Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+2與反比例函數y=（k≠0）的圖象交于A（a，3），B（3，b）兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D．

(1)求a，b的值及反比例函數的解析式；

(2)若點P在直線y=﹣x+2上，且S△ACP=S△BDP，請求出此時點P的坐標；

(3)在x軸正半軸上是否存在點M，使得△MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（，0）或（，0）．

【解析】

（1）利用點在直線上，將點的坐標代入直線解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系數法求出反比例函數解析式；

（2）設出點P坐標，用三角形的面積公式求出S△ACP＝×3×|n＋1|，S△BDP＝×1×|3n|，進而建立方程求解即可得出結論；

（3）設出點M坐標，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m3）2＋1，AB2＝32，再三種情況建立方程求解即可得出結論．

（1）∵直線y＝－x＋2與反比例函數y＝（k≠0）的圖象交于A（a，3），B（3，b）兩點，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，

∴a＝－1，b＝－1，

∴A（－1，3），B（3，－1），

∵點A（－1，3）在反比例函數y＝上，

∴k＝－1×3＝－3，

∴反比例函數解析式為y＝；

（2）設點P（n，－n＋2），

∵A（－1，3），

∴C（－1，0），

∵B（3，－1），

∴D（3，0），

∴S△ACP＝AC×|xPxA|＝×3×|n＋1|，S△BDP＝BD×|xBxP|＝×1×|3n|，

∵S△ACP＝S△BDP，

∴×3×|n＋1|＝×1×|3n|，

∴n＝0或n＝3，

∴P（0，2）或（3，5）；

（3）設M（m，0）（m＞0），

∵A（1，3），B（3，1），

∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（13）2＝32，

∵△MAB是等腰三角形，

∴①當MA＝MB時，

∴（m＋1）2＋9＝（m3）2＋1，

∴m＝0，（舍）

②當MA＝AB時，

∴（m＋1）2＋9＝32，

∴m＝1＋或m＝1（舍），

∴M（1＋，0）

③當MB＝AB時，（m3）2＋1＝32，

∴m＝3＋或m＝3（舍），

∴M（3＋，0）

即：滿足條件的M（1＋，0）或（3＋，0）．