Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，

（1）求曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程；

（2）設(shè)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的范圍：

（3）在（2）的條件下證明：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線斜率，點(diǎn)斜式即可求出直線方程；

（2）函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不同的正根，利用方程根的分布即可求解；

（3）化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可求證.

（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

所以切線方程為.

又因?yàn)榍芯�過(guò)原點(diǎn)，所以

所以，所以

故所求切線方程為.

（2）∵

∴

因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

所以方程有兩個(gè)不同的正根，，

所以

解得.

（3）由，得，則由已知，

∵，

∴

∴

設(shè)函數(shù)

所以

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減

所以