Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若時，請討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，若在上有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求導，分，討論導函數正負，即得函數的單調性；

（Ⅱ）結合（Ⅰ）中分析得到的單調性，且，可得，分兩種情況討論，結合單調性和邊界點，極值點正負，即得解.

解:（Ⅰ）函數的定義域為，

.

由得或.

當時，在上恒成立，

所以的單調遞減區間是，沒有單調遞增區間.

當時由得，為增函數

由得，為減函數

所以的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

故當時，的單調遞減區間是，沒有單調遞增區間.

當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是

（Ⅱ）當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

，

當時，在為增函數，在上有零點，則

當時，在遞增，在遞減，

即

綜合得：實數的取值范圍為