Question

【題目】設函數，（）.

（1）當時，解關于的方程（其中為自然對數的底數）；

（2）求函數的單調增區間；

（3）當時，記，是否存在整數，使得關于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由. （參考數據：，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）當時，的增區間為；當時，的增區間為；時，的增區間為.（III）的最小值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）代入化簡方程得，由二次方程解得或，再根據指對數關系得或.（Ⅱ）先求函數導數并明確函數定義域：，；再討論導函數不變號情況：當時，，的增區間為；最后討論導函數變號時符號變化規律：當時，由，解得；當時，由，解得.（III）存在性問題，一般轉化為對應函數最值問題：，利用導數先求函數最小值：本題難點是最小值點不能解出，只能得到其所在區間，為使值能確定最小值，需精確考慮最小值點所在區間，如細化到

試題解析：解：（1）當時，方程即為，去分母，得

，解得或， …………2分

故所求方程的根為或. ………4分

（2）因為，

所以（）， ……6分

①當時，由，解得；

②當時，由，解得；

③當時，由，解得；

④當時，由，解得；

⑤當時，由，解得.

綜上所述，當時，的增區間為；

當時，的增區間為；

時，的增區間為. ………10分

（3）方法一：當時，，，

所以單調遞增，，，

所以存在唯一，使得，即， ……………12分

當時，，當時，，

所以，

記函數，則在上單調遞增， ……14分

所以，即，

由，且為整數，得，

所以存在整數滿足題意，且的最小值為. ………16分

方法二：當時，，所以，

由得，當時，不等式有解， ……………12分

下證：當時，恒成立，即證恒成立.

顯然當時，不等式恒成立，

只需證明當時，恒成立.

即證明.令，

所以，由，得， ………14分

當，；當，；

所以.

所以當時，恒成立.

綜上所述，存在整數滿足題意，且的最小值為. .……………16分