【題目】已知函數
，
.
（Ⅰ）當
時，求函數
在
上的最值；
（Ⅱ）討論函數的單調區間；
（Ⅲ）當
時，對任意
，都有
恒成立，求
的最小值.
【答案】（Ⅰ）
，
； （Ⅱ）當
時，增區間為
，減區間為
；當
時，增區間為和
，減區間為
；當
，增區間為
；當
時，增區間為
和，減區間為
； （Ⅲ）1.
【解析】
（Ⅰ）表示此時的
，對其求導分析單調性，分別計算端點值與極大（小）值，比較其中最大的為最大值，最小的為最小值；
（Ⅱ）求導，利用分類討論最高次項是否為零，并因式分解表示
的兩根，再利用分類討論兩根的大小，進而判定單調性；
（Ⅲ）當時，求得
此時的最大值；當
時，利用二次函數定區間動軸問題的討論方式，求得此時的最大值；由
恒成立即
求得
的最小值.
（Ⅰ）當
時，有
，則
，則
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| 單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
因為
，
，
，
所以，
（Ⅱ）由題可知，
當時，的增區間為，減區間為
當時，的增區間為和，減區間為
當，的增區間為
當時，的增區間為和，減區間為
（Ⅲ）①當時，
在
上的最大值為1
②當時，
的對稱軸為
，
若
即
時，
而
，所以
若
即
時，
由
，，所以
綜上所述，當
時，對任意
，
因為恒成立，所以
故的最小值為1
法2：解：
，由題得：
，對于
，以及
恒成立.
①首先必須
對
恒成立，
對恒成立
，于是必須
②其次，再證明
合乎題意.
要證
，即證
事實上，
，
，
另外
兩式相乘立即知道（A）成立.綜合（1），（2）得的最小值為1
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結論
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③AB與平面BCD成60°的角；
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結論的序號是________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，右焦點為
，直線l經過點F，且與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當直線l繞點F轉動時，試問：在x軸上是否存在定點M，使得
為常數?若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某品牌經銷商在一廣場隨機采訪男性和女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調查結果如下：
微信控 | 非微信控 | 合計 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
（1）根據以上數據，能否有95%的把握認為“微信控”與“性別”有關？
（2）現從調查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人數；
（3）從（2）中抽取的5位女性中，再隨機抽取3人贈送禮品，試求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
參考公式: 
，其中
.
參考數據：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
；直線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線分別交于
，
兩點.
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）若點
的極坐標為
，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市在進行創建文明城市的活動中，為了解居民對“創文”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數為整數．滿分為100分）．從中隨機抽取一個容量為120的樣本．發現所有數據均在
內．現將這些分數分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：
（1）算出第三組
的頻數．并補全頻率分布直方圖；
（2）請根據頻率分布直方圖，估計樣本的眾數、中位數和平均數．（每組數據以區間的中點值為代表）
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