Question

【題目】如圖1所示，在邊長為12的正方形AA'A1'A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1'分別交BB1，CC1于點P，Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A'A1'與AA1重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．

（1）求三棱錐P﹣ABC與三棱錐Q﹣PAC的體積之和；

（2）求直線AQ與平面BCC1B1所成角的正弦值；

（3）求三棱錐Q﹣ABC的外接球半徑r．

Answer 1

【答案】（1）體積之和為20.（2） .（3）.

【解析】試題分析：（1）在圖1中，∵△PAB，△ACQ是等腰直角三角形，∴PB=3，CQ=7，∵AB=3，BC=4，AC=12﹣3﹣4=5，∴AB⊥BC，∴B到AC的距離d=，分別計算VP﹣ABC，VQ﹣PAC得出結論；（2）連接BQ，∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴∠AQB是直線AQ與平面BCC1B1所成角；（3）取AQ中點M，∵△ABQ和△ACQ是直角三角形，∴MA=MB=MC=MQ，∴三棱錐Q﹣ABC的外接球球心為M，從而得出外接球半徑．

試題解析：

（1）在圖1中，∵△PAB，△ACQ是等腰直角三角形，

∴PB=3，CQ=7，

∵AB=3，BC=4，AC=12﹣3﹣4=5，

∴AB⊥BC，

∴B到AC的距離d==．

∴VP﹣ABC===6，

VQ﹣PAC=VP﹣QAC===14，

∴三棱錐P﹣ABC與三棱錐Q﹣PAC的體積之和為6+14=20．

（2）連接BQ，

∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，

又AB⊥BC，BC∩BB1=B，

∴AB⊥平面BCC1B1，

∴∠AQB是直線AQ與平面BCC1B1所成角．

∵AQ==，

∴sin∠AQB==．

（3）設AQ的中點為M，

∵△ABQ和△ACQ是直角三角形，

∴MA=MB=MC=MQ，

∴三棱錐Q﹣ABC的外接球球心為M．

∴三棱錐Q﹣ABC的外接球半徑r=AQ=．