【題目】設函數
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）若對任意
及任意
， 
，恒有
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】試題分析：
(1)由函數的導函數
分類討論可得：
當
時， 
在定義域上是減函數；
當
時， 
在
， 
上單調遞減，在
上單調遞增；
當
時， 
在
和
上單調遞減，在
上單調遞增.
(2)結合(1)的結論可得
，構造函數
，討論可得
.
試題解析：（1）
，
當
，即
時， 
， 
在
上是減函數；
當
，即
時，令
，得
或
；令
，得
；
當
，即
時，令
，得
或
；令
，得
；
綜上，當
時， 
在定義域上是減函數；
當
時， 
在
， 
上單調遞減，在
上單調遞增；
當
時， 
在
和
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）由（1）知，當
時， 
在
上單調遞減，
當
時， 
有最大值，當
時， 
有最小值，
對任意
，恒有
， 
.
構造函數
，則
，
， 
.
函數
在
上單調增.
， 
.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設集合
，若X是
的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數，則稱X為
的奇（偶）子集．
（1）寫出S4的所有奇子集；
（2）求證：
的奇子集與偶子集個數相等；
（3）求證：當n≥3時，
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市統計局就2015年畢業大學生的月收入情況調查了10000人，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖所示，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示
.
（1）求畢業大學生月收入在
的頻率；
（2）根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；
（3）為了分析大學生的收入與所學專業、性別等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在
的這段應抽取多少人？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
和直線
上的動點
，線段
的垂直平分線交直線
于點
，設點的軌跡為曲線
.
（I）求曲線的方程；
（II）直線
交
軸于點
，交曲線于不同的兩點
，點
關于軸的對稱點為
，點關于
軸的對稱點為
，求證：
三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創業，在一個開學季內，每售出
盒該產品獲利潤
元；未售出的產品，每盒虧損
元.根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，該同學為這個開學季購進了
盒該產品，以
（單位：盒， 
）表示這個開學季內的市場需求量，（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤.
（1）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量
的中位數；
（2）將
表示為
的函數；
（3）根據直方圖估計利潤不少于
元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足a1＝a，an＋1＝2an＋
(a，λ∈R)．
(1)若λ＝－2，數列{an}單調遞增，求實數a的取值范圍；
(2)若a＝2，試寫出an≥2對任意的n∈N*成立的充要條件，并證明你的結論．
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