Question

（本題滿分14分）

 已知函數圖象上一點處的切線方程為．

(Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數的底數）；

（Ⅲ）令，若的圖象與軸交于，(其中)，的中點為，求證：在處的導數．

Answer 1

解析：（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得．                           …………………… 3分

（Ⅱ），令，

則，令，得（舍去）．

在內，當時，， ∴ 是增函數；

當時，，   ∴  是減函數          …………………… 5分

則方程在內有兩個不等實根的充要條件是…………6分

即．                                ………………………………… 8分

（Ⅲ），．

假設結論成立，則有 ……………………………… 9分

①－②，得．  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

∴．      …………………………………………………………… 10分

由④得，

∴                   …………………………………………………… 11分

即，即．⑤          

令，（)，    …………………………………… 12分

則＞0．∴在上增函數， ∴， ……… 13分

∴⑤式不成立，與假設矛盾．

∴．                     …………………………………………… 14分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m