Question

（2012•河南模擬）已知函數f(x)=e-kx(x2+x-

1

k

)(k＜0)．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）是否存在實數k，使得函數f（x）的極大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數f（x）的定義域，求導函數，并分解 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），對f'（x）=0的兩個根的大小進行比較，分類討論：k=-2時，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0；當-2＜k＜0時，

2

k

＜-1；當k＜-2時，

2

k

＞-1，從而可確定函數的單調區間；
（Ⅱ）當k=-1時，f（x）的極大值等于3e^-2．按照（Ⅰ）的分類討論方法，當k=-2時，f（x）無極大值；當-2＜k＜0時，f（x）的極大值為f(

2

k

)=e-2(

4

k2

+

1

k

)，可得 k=-1；當k＜-2時，f（x）的極大值不可能等于3e^-2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R.f′(x)=-ke-kx(x2+x-

1

k

)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]，
即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或x=

2

k

．
當k=-2時，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，故f（x）的單調遞增區間是（-∞，+∞）．…（3分）
當-2＜k＜0時，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x	(-∞， 2 k )	2 k	( 2 k ，-1)	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數f（x）的單調遞增區間是(-∞，

2

k

)和（-1，+∞），單調遞減區間是(

2

k

，-1)．…（5分）
當k＜-2時，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 2 k )	2 k	( 2 k ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1）和(

2

k

，+∞)，單調遞減區間是(-1，

2

k

)．…（7分）
（Ⅱ）當k=-1時，f（x）的極大值等于3e^-2．理由如下：
當k=-2時，f（x）無極大值．
當-2＜k＜0時，f（x）的極大值為f(

2

k

)=e-2(

4

k2

+

1

k

)，…（8分）
令e-2(

4

k2

+

1

k

)=3e-2，即

4

k2

+

1

k

=3，解得 k=-1或k=

4

3

（舍）．…（9分）
當k＜-2時，f（x）的極大值為f(-1)=-

ek

k

．…（10分）
因為 e^k＜e^-2，0＜-

1

k

＜

1

2

，所以 -

ek

k

＜

1

2

e-2．
因為 

1

2

e-2＜3e-2，所以 f（x）的極大值不可能等于3e^-2．
綜上所述，當k=-1時，f（x）的極大值等于3e^-2．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，考查分類討論的數學思想，合理分類是關鍵．