Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=

2

，向量

m

=(-1，1)，

n

=(cosBcosC，sinBsinC-

2

2

)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）當sinB+cos(

7π

12

-C)取得最大值時，求角B的大小和△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的垂直，兩角和與差的三角函數化簡表達式，利用三角形的內角和，轉化A的三角函數值，然后求A的大小；
（Ⅱ）通過A的大小，推出C與B 的關系，化簡sinB+cos(

7π

12

-C)為B的三角函數的形式，通過B的范圍求出不等式取得最大值時，求角B的大小，利用正弦定理求出b的值，即可利用三角形面積公式求解△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(-1，1)，

n

=(cosBcosC，sinBsinC-

2

2

)，且

m

⊥

n

．
∴-cosBcosC+sinBsinC-

2

2

=0，
即cos（B+C）=-

2

2

，
∵A+B+C=π，
∴cos（B+C）=-cosA，
∴cossA=

2

2

∴A=

π

4

-------（5分）
（Ⅱ）由A=

π

4

，C=

3π

4

-B，
故sinB+cos(

7π

12

-C)=sinB+cos（B-

π

6

）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin(B+

π

6

)
由B∈(0，

3π

4

)，
故

3

sin(B+

π

6

)最大值時，B=

π

2

-------（9分）
由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=2，得b=

3

故

1

2

absinC=

6

2

sin(

π

4

+

π

3

)=

3+ 3

4

-------（12分）

點評：本題考查向量的垂直，正弦定理以及兩角和與差的三角函數，三角函數的化簡與求值，考查轉化思想以及計算能力．